Minggu, 04 Oktober 2015
Minggu, 27 September 2015
Bandul
Periode bandul
|
Oleh:
Andy Maha
Konni Tamba
Renny Dorothy Purba
Sri Wahyuni Dalimunthe
|
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Medan
1.
Judul :
Periode Bandul
2.
Tujuan :
a.
Mengetahui pengaruh panjang tali terhadap periode
bandul
b.
Mengetahui pengaruh sudut terhadap periode bandul
c.
Mengetahui massa bandul terhadap periode bandul
3.
Tinjauan Teoritis
Bandul matematis adalah suatu titik benda digantungkan pada
suatu titk tetap dengan tali. Jika ayunan menyimpang sebesar sudut q terhadap garis vertical maka gaya yang
mengembalikan :
F = - m . g . sin q
Untuk q dalam
radial yaitu q kecil maka sin q = q = s/l,
dimana s = busur lintasan bola dan l = panjang tali , sehingga :
Kalau tidak ada gaya gesekan dan gaya puntiran maka persamaan
gaya adalah :
Ini
adalah persamaan differensial getaran selaras dengan periode adalah :
Dengan bandul matematis maka percepatan gravitasi g dapat
ditentukan yaitu dengan hubungan :
Harga l
dan T dapat diukur pada pelaksanaan
percobaan dengan bola logam yang cukup berat digantungkan dengan kawat yang
sangat ringan (Anonim, 2007).
Beban yang diikat pada ujung tali
ringan yang massanya dapat diabaikan disebut bandul. Jika beban ditarik kesatu
sisi, kemudian dilepaskanmaka beban akan terayun melalui titik keseimbangan
menuju ke sisi yang lain. Bila amplitudo ayunan kecil, maka bandul sederhana
itu akan melakukan getaran harmonik. Bandul dengan massa m digantung
pada seutas tali yang panjangnya l. Ayunan mempunyai simpangan anguler θ
dari kedudukan seimbang. Gaya pemulih adalah komponen gaya tegak lurus tali.
F = - m g sin θ
F = m a
maka
m a = - m g sin θ
a = - g sin θ
Untuk getaran selaras θ kecil
sekali sehingga sin θ = θ. Simpangan busur s = l θ atau θ=s/l ,
maka persamaan menjadi: a=
gs/l . Dengan persamaan periode getaran harmonik
Dimana :
l = panjang tali (meter)
g= percepatan gravitasi (ms-2)
T= periode bandul sederhana (s)
Dari rumus di atas diketahui bahwa
periode bandul sederhana tidak bergantung pada massa dan simpangan bandul,
melaikan hanya bergantung pada panjang dan percepatan gravitasi, yaitu:
(Hendra, 2006).
Gerak
osilasi yang sering dijumpai adalah gerak ayunan. Jika simpangan osilasi tidak
terlalu besar, maka gerak yang terjadi dalam gerak harmonik sederhana. Ayunan
sederhana adalah suatu sistem yang terdiri dari sebuah massa dan tak dapat
mulur. Ini dijunjukkan pada gambar dibawah ini. Jika ayunan ditarik kesamping
dari posisi setimbang, dan kemudian dilepasskan, maka massa m akan berayun
dalam bidang vertikal kebawah pengaruh gravitasi. Gerak ini adalah gerak
osilasi dan periodik. Kita ingin menentukan periode ayunan. Pada gambar di
bawah ini, ditunjukkan sebuah ayunan dengan panjang 1, dengan sebuah partikel
bermassa m, yang membuat sudut θ terhadap arah vertical. Gaya yang bekerja pada
partikel adalah gaya berat
dan gaya tarik
dalam tali. Kita pilih
suatu sistem koordinat dengan satu sumbu menyinggung lingkaran gerak
(tangensial) dan sumbu lain pada arah radial. Kemudian kita uraikan gaya berat
mg atas komponen-komponen pada arah radial, yaitu mg cos θ, dan arah tangensial, yaitu mg sin θ.
Komponen
radial dari gaya-gaya yang bekerja memberikan percepatan sentripetal yang
diperlukan agar benda bergerak pada busur lingkaran.Komponen tangensial adalah
gaya pembalik pada benda m yang cenderung mengembalikan massa keposisi
setimbang. Jadi gaya pembalik adalah :
Perhatikan
bahwa gaya pembalik di sini tidak sebanding dengan θ akan tetapi sebanding
dengan sin θ. Akibatnya gerak yang dihasilkan bukanlah gerak harmonic
sederhana. Akan tetapi, jika sudut θ adalah kecil maka sin θ ≈ θ (radial).
Simpangan sepanjang busur lintasan adalah
x=lθ ,
dan untuk
sudut yang kecil busur lintasan dapat dianggap sebagai garis lurus. Jadi kita
peroleh
Gambar. 1. Gaya-gaya yang bekerja pada ayunan sederhana adalah gaya tarik T dan
gaya berat mg pada massa m
Jadi
untuk simpangan yang kecil, gaya
pembalik adalah sebanding dengan simpangan, dan mempunyai arah berlawanan. Ini
bukan laian adalah persyaratan gerak harmonic sederhana. Tetapan mg/l menggantikan tetapan k pada F=-kx.
Perioda ayunan jika amplitude
kecil adalah:
(Sutrisno, 1997).
Contoh
dari kategori ayunan mekanis, yaitu pendulum. Kita akan memulai kajian kita
dengan meninjau persamaan gerak untuk sistem yang dikaji seperti dalam gambar
2.
|
Gambar 2.Pendulum, gaya pemulih yang timbul berkaitan dengan pengaruh
gravitasi pada massa M. Dapat anda menyebutkan kondisi apa saja yang berlaku
untuk pendulum sederhana seperti di samping.
|
Gaya pemulih
muncul sebagai konsekuensi gravitasi terhadap bola bermassa M dalam bentuk gaya
gravitasi Mg yang saling meniadakan dengan gaya Mdv/dt yang berkaitan dengan kelembaman. Adapun frekuensi ayunan
tidak bergantung kepada massa M.
Dalam kasus
sistem ayunan seperti yang disajikan dalam gambar di atas, maka gerakan massa M
terbatasi atau ditentukan oleh panjang pendulum L, dan persamaan gerak yang
berlaku adalah :
dimana dalam hal ini kecepatan bola sepanjang lintasannya
yang berupa busur lingkaran adalah
. Faktor sinθ merupakan komponen yang searah dengan
gravitasi dari gaya yang bekerja pada bola dalam arah θ. Selanjutnya dengan
membuang M dari kedua sisi persamaan di atas, diperoleh bentuk
, yang merupakan persamaan diferensial tak linear
untuk θ.
Jika dianggap simpangan awal ayunan cukup kecil
, maka berlaku sin θ=θ sehingga persamaan dapat diubah menjadi
bentuk linear sebagai berikut,
persamaan
merupakan gambaran untuk ayunan sinusuidal dengan frekuensi diberikan
oleh:
(yahya, 2005).
Pada
bandul matematis, berat tali diabaikan dan panjang tali jauh lebih besar dari
pada ukuran geometris dari bandul. Pada posisi setimbang, bandul berada pada
titik A. Sedangkan pada titik B adalah kedudukan pada sudut di simpangan
maksimum (θ). Kalau titik B adalah kedudukan dari simpangan maksimum, maka
gerakan bandul dari B ke A lalu ke B’ dan kemudian kembali ke A dan lalu ke B
lagi dinamakan satu ayunan. Waktu yang diperlukan untuk melakukan satu ayunan
ini disebut periode (T). Seperti pada gambar 3. di bawah ini
|
f =
|
komponen
w menurut garis singgung pada lintasan bandul
|
|
P=
|
gaya
tegang tali
|
|
N=
|
komponen
normal dari W=mg
|
|
l=
|
panjang
tali
|
|
θ =
|
sudut
simpangan
|
Gambar 3. bandul matematis, berat tali diabaikan dan panjang tali dan panjang
tali yang memiliki ukuran lebih besar.
Dengan mengambil sudut θ cukup
kecil sehingga BB’= busur BAB’, maka dapat dibuktikan bahwa
Dengan
mengetahui panjang tali dan periode, maka percepatan gravitasi bumi dapat
dihitung (Anonim, 2004).
Cara
sederhana mengukur g adalah dengan menggunakan bandul matematis sederhana.
Bandul ini terdiri dari beban yang diikatkan pada ujung benang (tali ringan)
dan ujung lainnya dogantungkan pada penyangga tetap. Beban dapat berayun dengan
bebas. Ketika disimpangkan, bandul bergerak bolak-balik. Waktu satu kali gerak
bolak-balik disebut satu periode. Kita nyatakan periode dengan symbol T.
Periode bandul memenuhi rumus :
T= periode bandul (s)
L= panjang penggantung (m)
g= percepatan gravitasi (m/s2)
Gambar 4. bandul yang diikat pada tali
4.
Alat dan Bahan :
a.
Alat
|
No.
|
Nama
Alat
|
Jumlah
|
|
1.
|
Tiang penyangga/stif
|
1 buah
|
|
2.
|
Mistar
|
1 buah
|
|
3.
|
Busur
|
1 buah
|
|
4.
|
Stopwatch
|
1 buah
|
b.
Bahan
|
No.
|
Nama
Bahan
|
Spesifikasi
|
|
1.
|
Bandul
|
·
50 gr
·
75 gr
·
100 gr
|
|
2.
|
Tali
|
150 cm
|
5.
Prosedur Kerja :
Adapun
prosedur kerja untuk percobaan tersebut adalah:
a.
Merangkai semua alat dan bahan sehiungga
terrangkai seperti gambar di sebelah.
b.
Mengikatkan beban dengan tali dan menggantungkan
pada Statif kemudian mengukur panjang tali (L)
c.
Menyimpangkan beban dengan sudut tertentu kemudian
dilepaskan.
d.
Mencatat waktunya untuk setiap sepuluh ayunan.
e.
Mengulang kegiatan di atas dengan memvariasikan:
i. Massa
beban (m) ada sebanyak lima variasi.
ii. Panjang
tali (L) ada sebanyak lima variasi.
g.
Mencatat data yang diperoleh pada tabel
pengamatan.
6. Data
Percobaan dengan variasi massa beban dengan
panjang tali tetap sepanjang 104 cm.
|
No.
|
Massa
beban
m (gr)
|
Waktu
ayun
t (s)
|
Periode
T (s-1)
|
|
1
|
990
|
21
|
2,1
|
|
2
|
300
|
21
|
2,1
|
|
3
|
300
|
21
|
2,1
|
|
4
|
300
|
21
|
2,1
|
|
5
|
270
|
21
|
2,1
|
Percobaan dengan variasi Panjang Tali (L)
dengan massa beban tetap sebesar 990 gr.
|
No.
|
Panjang
Tali
m (gr)
|
Waktu
ayun
t (s)
|
Periode
T (s-1)
|
|
1
|
110
|
22
|
2,2
|
|
2
|
100
|
21,48
|
2,148
|
|
3
|
90
|
19,71
|
1,971
|
|
4
|
80
|
18,42
|
1,842
|
|
5
|
70
|
17,52
|
1,752
|
Percobaan dengan variasi sudut
awal (
) dengan massa 100 gr dan panjang tali 80
cm.
|
No.
|
Sudut awal (
|
Periode T (s-1)
|
|
1
|
10
|
1.80
|
|
2
|
20
|
1.81
|
|
3
|
30
|
1.82
|
|
4
|
40
|
1.85
|
|
5
|
50
|
1.88
|
7.
Analisis Data
|
No
|
Massa
beban
m (gr)
|
Waktu
ayun
t (s)
|
Periode
T (s-1)
|
Perc.
Gravitasi
g (m. s-2)
|
g2
|
ḡ
(g rata-rata)
|
|
1
|
900
|
21
|
2,1
|
9,310
|
86,67
|
9,310
|
|
2
|
300
|
21
|
2,1
|
9,310
|
86,67
|
|
|
3
|
300
|
21
|
2,1
|
9,310
|
86,67
|
|
|
4
|
300
|
21
|
2,1
|
9,310
|
86,67
|
|
|
5
|
270
|
21
|
2,1
|
9,310
|
86,67
|
|
|
Jumlah
( S )
|
46,550
|
433,35
|
||||
a.
Perhitungan
g berdasarkan data percobaan variasi massa beban (m) dengan Panjang Tali tetap
sepanjang 104 cm.
Δ g =
=
= 1,551
g = ḡ ± Δg
g =
(9,310 ± 1,551) m/s2
Kesalahan
relatif (KR) = Δg / g rata-rata × 100 % = 16,66 %
b.
Perhitungan g berdasarkan data percobaan variasi
Panjang Tali (L) dengan massa beban tetap sebesar 990 gr.
|
No
|
Panjang
Tali L(cm)
|
Waktu ayun t(s)
|
Periode
T (s-1)
|
Perc.
Gravitasi
g (m. s-2)
|
g2
|
ḡ
(g rata-rata)
|
|
1
|
110
|
22
|
2,2
|
8,8
|
75,69
|
8,958
|
|
2
|
100
|
21,48
|
2,148
|
8,547
|
73,1
|
|
|
3
|
90
|
19,71
|
1,971
|
9,136
|
83,46
|
|
|
4
|
80
|
18,42
|
1,842
|
9,308
|
86,63
|
|
|
5
|
70
|
17,52
|
1,752
|
9,003
|
81,1
|
|
|
Jumlah ( S )
|
44,764
|
399,98
|
||||
Δ g =
=
= 1,489
g = ḡ ± Δg
g =
(8,958 ± 1,489) m/s2
Kesalahan
relatif (KR) = Δg / g rata-rata × 100 % = 16,62 %
Grafik antara Massa Bandul dengan g
(percepatan gravitasi)
Ket :
Grafik di atas berdasarkan data percobaan variasi massa beban (m) dengan
Panjang Tali tetap sepanjang 104 cm.
Grafik
antara Panjang Tali dengan g (percepatan gravitasi)
Ket : Grafik di atas berdasarkan data percobaan variasi
Panjang Tali (L) dengan massa beban tetap sebesar 990 gr.
c.
Percobaan dengan variasi sudut awal (
) dengan massa 100 gr dan panjang tali 80
cm.
|
No.
|
Sudut awal (
|
Periode T (s-1)
|
|
1
|
10
|
1.80
|
|
2
|
20
|
1.81
|
|
3
|
30
|
1.82
|
|
4
|
40
|
1.85
|
|
5
|
50
|
1.88
|
Grafik yang diperoleh dari variasi sudut awal (
)
8.
Kesimpulan
Analisa
terhadap variabel yang mempengaruhi pada
percobaan (variasi massa) terlihat sebagai berikut:
|
No.
|
m (gram)
|
T (detik)
|
| m - mrata-rata |
|
| T - Trata-rata |
|
|
1
|
270
|
2,1
|
144
|
0
|
|
2
|
300
|
2,1
|
114
|
0
|
|
3
|
300
|
2,1
|
114
|
0
|
|
4
|
300
|
2,1
|
114
|
0
|
|
5
|
900
|
2,1
|
486
|
0
|
|
Jumlah
|
972
|
0
|
||
Berdasarkan
data percobaan dengan variasi massa beban, kami berpendapat bahwa massa benda
tidak berpengaruh terhadap periode (T). Hal ini dapat terlihat bahwa dari
setiap variasi beban massa, selisih setiap T yang didapat dengan rata-ratanya (
| T - Trata-rata | )
bernilai nol, dibandingkan dengan selisih setiap variasi massa dengan
rata-ratanya ( | M - Mrata-rata | ).
Adanya
perbedaan kecil periode dalam setiap percobaan dengan variasi massa beban
mungkin disebabkan oleh hal-hal sebagai berikut:
§ Adanya ketidaktepatan
waktu mulai dan/atau memberhentikan stopwatch ketika 10 getaran sudah tercapai.
§ Bandul
tidak diperiksa sudah berayun dengan benar atau belum (bergerak kerucut, miring
dsb).
Analisa
terhadap variabel yang mempengaruhi pada
percobaan 2 (variasi panjang tali) terlihat sebagai berikut:
|
No.
|
Panjang Tali (L)
|
T (detik)
|
| L - Lrata-rata |
|
| T - Trata-rata |
|
|
1
|
110
|
2,20
|
20
|
0,22
|
|
2
|
100
|
2,15
|
10
|
0,17
|
|
3
|
90
|
1,97
|
0
|
0,01
|
|
4
|
80
|
1,84
|
10
|
0,14
|
|
5
|
70
|
1,75
|
20
|
0,23
|
|
Jumlah
|
60
|
0,77
|
||
Berdasarkan
data percobaan dengan variasi Panjang Tali, kami berpendapat bahwa Panjang tali
tidak berpengaruh terhadap periode (T). Hal ini dapat terlihat bahwa dari
setiap variasi beban massa, selisih setiap T yang didapat dengan rata-ratanya (
| T - Trata-rata | )
bernilai kecil, dibandingkan dengan selisih setiap variasi massa dengan
rata-ratanya ( | L - Lrata-rata | ).
Analisa
terhadap pengaruh variasi sudut terhadap periode
Diperoleh
bahwa besarnya nilai periode rata-rata ayunan < T > bertambah dengan semakin
besarnya nilai sudut simpangan awal 0 θ . Untuk sudut kecil di bawah 20° nilai
periode pada data praktek maupun teori hampir sama. Sehingga perhitungan cukup sampai
suku kedua saja. Sedangkan untuk sudut 30° aproksimasi dilakukan sampai suku ke-3.
Untuk sudut 40° aproksimasi sampai suku ke-4 dan seterusnya sesuai dengan
kenaikan sudutnya.
9.
Referensi
Anonim. 2003. Bahan kuliah. Yogyakarta : www.
Bandul_Matematis.com
Anonim.2004.
Ayunan Sederhana. Jakarta: Depdiknas
Anonim.2007.Ensiklopedia Ilmu Pengetahuan Alam (Fisika).Semarang:Aneka Ilmu.
Bevington
dan Robinson.2003.Data Reduction and
Error Analysis for the physical Sciences. McGrawHill
Hendra.2006.Bandul Matematis.Semarang: Aneka Ilmu.
Sutrisno.1997.Mekanika
seri Fisika Dasar. Bandung : ITB.
Yahya.
2005.Ayunan Matematis. Solo. Seminar
nasional
Langganan:
Postingan (Atom)